【不等式常见公式】在数学学习中，不等式是重要的基础知识之一，广泛应用于代数、几何、函数分析等多个领域。掌握常见的不等式公式，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。以下是对不等式常见公式的总结，并以表格形式进行归纳整理。
一、基本不等式
1. 绝对值不等式
- $
- $
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2. 均值不等式
- 算术平均 ≥ 几何平均：$ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $（当且仅当 $ a = b $ 时取等号）
- 调和平均 ≤ 几何平均 ≤ 算术平均 ≤ 平方平均
3. 柯西不等式
- $ (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 $
4. 排序不等式
- 若 $ a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n $，$ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $，则
$ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + a_2b_{\sigma(2)} + \cdots + a_nb_{\sigma(n)} $
其中 $ \sigma $ 是任意排列。
二、特殊不等式
| 不等式名称 | 公式表达 | 适用条件 | ||||||
| 三角不等式 | $ | a + b | \leq | a | + | b | $ | 适用于实数或复数 |
| 绝对值不等式 | $ | a | < r \Leftrightarrow -r < a < r $ | $ r > 0 $ | ||||
| 均值不等式 | $ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $ | $ a, b > 0 $ | ||||||
| 柯西不等式 | $ (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + \cdots + a_nb_n)^2 $ | 任意实数或复数 | ||||||
| 排序不等式 | $ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + \cdots + a_nb_{\sigma(n)} $ | 数列按顺序排列 |
三、应用技巧
- 分情况讨论：对于含有绝对值的不等式，通常需要分情况讨论正负。
- 利用对称性：某些不等式可以通过变量替换或对称变换简化问题。
- 结合图形理解：如二次不等式，可通过图像辅助判断解集范围。
- 注意等号成立条件：很多不等式在特定条件下才成立，如均值不等式中只有当所有变量相等时才取等号。
四、总结
不等式公式虽然种类繁多，但核心思想在于比较大小关系与优化表达。掌握这些基础公式并灵活运用，可以有效提升解决实际问题的能力。建议在学习过程中结合例题练习，逐步加深对不等式性质的理解与应用。
通过以上内容的整理，希望可以帮助读者系统地掌握不等式的基本公式及其应用方法，为后续数学学习打下坚实基础。
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