【常用的等价无穷小有哪些】在高等数学中，等价无穷小是一个非常重要的概念，常用于极限计算、泰勒展开以及近似计算中。掌握一些常用的等价无穷小关系，可以大大简化计算过程，提高解题效率。
以下是一些在数学分析中较为常见且实用的等价无穷小关系，适用于当 $ x \to 0 $ 时的情况：
常用等价无穷小总结
| 当 $ x \to 0 $ 时的函数 | 等价无穷小表达式 |
| $ \sin x $ | $ x $ |
| $ \tan x $ | $ x $ |
| $ \arcsin x $ | $ x $ |
| $ \arctan x $ | $ x $ |
| $ \ln(1 + x) $ | $ x $ |
| $ e^x - 1 $ | $ x $ |
| $ a^x - 1 $（$ a > 0 $） | $ x \ln a $ |
| $ 1 - \cos x $ | $ \frac{1}{2}x^2 $ |
| $ \sqrt{1 + x} - 1 $ | $ \frac{1}{2}x $ |
| $ \sqrt[n]{1 + x} - 1 $（$ n \in \mathbb{N} $） | $ \frac{1}{n}x $ |
| $ \sinh x $ | $ x $ |
| $ \cosh x - 1 $ | $ \frac{1}{2}x^2 $ |
| $ \tanh x $ | $ x $ |
说明与应用提示
- 等价无穷小的定义：若 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $，则称 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 在 $ x \to 0 $ 时是等价无穷小，记作 $ f(x) \sim g(x) $。
- 使用场景：在求极限时，可以用等价无穷小替换原函数，从而简化运算。
- 注意事项：
- 只能在乘除运算中进行替换，加减运算需谨慎处理；
- 需注意替换的条件，如 $ x \to 0 $ 或其他特定极限情况；
- 对于高阶无穷小，应保留更高阶项以确保精度。
通过掌握这些常见的等价无穷小关系，可以在实际问题中快速判断和简化复杂的极限表达式，提升解题效率。建议在学习过程中多做练习，加深对这些关系的理解和应用能力。
