【复合函数求导公式什么】在微积分中，复合函数的求导是一个非常重要的知识点。当我们面对由多个函数组合而成的复杂函数时，如 $ y = f(g(x)) $，直接对整个函数求导会变得困难。这时候就需要使用“链式法则”（Chain Rule）来进行求导。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是指一个函数作为另一个函数的输入，例如：
- $ y = \sin(2x) $ 是由 $ y = \sin(u) $ 和 $ u = 2x $ 组成的复合函数。
- $ y = (3x + 1)^5 $ 是由 $ y = u^5 $ 和 $ u = 3x + 1 $ 组成的复合函数。
对于这样的函数，我们不能直接对整体进行求导，而是需要通过“链式法则”逐层分解求导。
二、复合函数求导公式
复合函数的求导公式为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
其中：
- $ y = f(u) $
- $ u = g(x) $
这个公式表示：外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。
三、常见复合函数求导示例
| 复合函数 | 外层函数 $ y = f(u) $ | 内层函数 $ u = g(x) $ | 导数 $ \frac{dy}{du} $ | 导数 $ \frac{du}{dx} $ | 最终导数 $ \frac{dy}{dx} $ |
| $ y = \sin(2x) $ | $ \sin(u) $ | $ 2x $ | $ \cos(u) $ | $ 2 $ | $ 2\cos(2x) $ |
| $ y = (3x + 1)^5 $ | $ u^5 $ | $ 3x + 1 $ | $ 5u^4 $ | $ 3 $ | $ 15(3x + 1)^4 $ |
| $ y = e^{x^2} $ | $ e^u $ | $ x^2 $ | $ e^u $ | $ 2x $ | $ 2x e^{x^2} $ |
| $ y = \ln(5x - 3) $ | $ \ln(u) $ | $ 5x - 3 $ | $ \frac{1}{u} $ | $ 5 $ | $ \frac{5}{5x - 3} $ |
四、总结
复合函数的求导是微积分中的基础内容，掌握链式法则可以解决大部分复合函数的导数问题。通过将函数分解为外层和内层，分别求导后相乘，能够有效简化计算过程。
在实际应用中，复合函数的结构可能更加复杂，但基本原理不变。熟练掌握这一方法，有助于提升数学分析能力，并为后续学习偏导数、隐函数求导等更高级内容打下坚实基础。
