【8个常用泰勒公式有哪些】在数学分析中，泰勒公式是一种将函数展开为无穷级数的重要工具，广泛应用于近似计算、数值分析和理论推导中。掌握一些常用的泰勒公式，有助于提高解题效率和理解数学本质。以下是8个常见的泰勒公式及其展开形式。
一、总结
泰勒公式的基本思想是用多项式来逼近一个光滑函数，其形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots
$$
当 $ a = 0 $ 时，该公式称为麦克劳林公式。下面列出的是在 $ x=0 $ 处的常见泰勒展开式（即麦克劳林展开）。
二、常用泰勒公式表格
| 函数 | 泰勒展开式（在 $ x=0 $ 处） | 收敛区间 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} + \cdots $ | $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| $ (1+x)^k $（$ k $ 为任意实数） | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
三、小结
以上8个泰勒公式是数学学习和应用中最常遇到的，涵盖了指数函数、三角函数、对数函数、反三角函数以及幂函数等。在实际问题中，可以根据需要截断级数以获得近似值，同时注意收敛域，避免误用。
掌握这些公式不仅能提升计算能力，还能加深对函数性质的理解，是数学基础中的重要组成部分。
