核心结论是 cos 搭配根号的极限题，属于高数极限高频混合题型，一般会出现 0 比 0 型，常见形式是根号里面套 cos，或者分子是根号减根号，同时包含 cos 项，主流解法一共有四种，分别是等价无穷小替换，有理化去根号，洛必达法则，重要极限，做题优先判断类型，能等价无穷小就优先等价，遇到根号加减优先有理化，这是这类题最核心思路，很多同学看到根号和 cos 混在一起就慌乱，其实本质就是把根号处理和三角极限两个技巧叠加，根号的核心操作就是分子或者分母有理化，乘共轭根式消掉根号，cos 部分就用等价无穷小，比如当 u 趋近 0 的时候，1 减 cosu 等价于二分之一 u 平方，这个是最常考的等价公式，几乎所有 cos 根号极限题都会用到这个等价无穷小。

核心预备公式

1 等价无穷小，u 趋近 0

1 减 cosu 等价于 二分之一 u 平方

sinu 等价于 u

2 有理化原理

根号 A 减根号 B，乘以根号 A 加根号 B，得到 A 减 B，消除根号

3 重要极限 lim u 趋近 0 sinu /u = 1

4 洛必达法则，0 比 0 或者无穷比无穷，可以对分子分母分别求导

四大解题方法

方法一 等价无穷小替换（首选）

适用场景：极限里面出现 1 减 cos（根号里面表达式），当根号里面整体趋近 0

例题思路：u = 根号里面式子，u 趋近 0，1 减 cosu 直接替换成二分之一 u 平方，根号就可以约掉，大幅简化

优势：计算最快，不用洛必达，考试优先选用

方法二 有理化去根号

适用场景：分子或者分母是 根号里面 cosx 减常数，比如根号 cosx 减 1，属于根号加减结构

操作：乘以共轭根式 根号 cosx 加 1，把根号去掉，再搭配 cos 等价无穷小继续计算

这个是 cos 有根号极限最经典题型，几乎必考

方法三 洛必达法则

适用场景：有理化和等价无穷小不好处理，判定是 0 比 0 型

操作：分子分母同时求导，注意复合函数求导，根号求导加 cos 复合求导，d/dx 根号 cosx = 负 sinx 除以 2 倍根号 cosx

缺点：求导容易算错，优先等价无穷小，洛必达作为备选

方法四 重要极限夹逼或者变量替换

适用场景：根号里面是倍角，做变量替换，令 t 等于根号内的表达式，t 趋近 0，转化成标准 sin t /t 重要极限形式

典型例题演示

求 lim x 趋近 0 （根号 cosx 减 1）除以 x 平方

第一步 判断是 0 比 0 型

第二步 分子有理化，乘以 根号 cosx 加 1

原式 = lim (cosx 减 1) 除以 [ x 平方 乘以 (根号 cosx 加 1) ]

第三步 1 减 cosx 等价二分之一 x 平方，cosx 减 1 等价负二分之一 x 平方

代入

= lim 负二分之一 x 平方 除以 [x 平方乘以 (根号 cosx 加 1)]

x 平方约掉，x 趋近 0，根号 cos0 等于 1

结果 = 负二分之一 除以 (1 加 1) = 负四分之一

易错点清单

1 等价无穷小必须保证整体趋近 0，不能局部随意替换

2 有理化的时候，忘记同时乘分母，破坏原式相等

3 复合求导的时候漏掉根号的导数，洛必达求导出错

4 混淆 1 减 cosu 和 cosu 减 1，正负号写反

方法选择优先级

等价无穷小 > 有理化 > 洛必达 > 变量替换重要极限

【常见问题】

问题 1 cos 有根号求极限，什么时候优先有理化

回答 1 如果是根号 cosx 减去常数这种加减结构的 cos 有根号求极限，优先有理化，乘共轭根式消根号，之后再搭配 1 减 cosu 等价无穷小，是这类 cos 有根号求极限标准解法。

问题 2 cos 有根号求极限能不能一开始就洛必达

回答 1 可以，但是 cos 有根号求极限优先推荐等价无穷小加有理化，洛必达计算量大容易出错，只有前面方法不好处理的时候，cos 有根号求极限再使用洛必达法则。

问题 3 1 减 cos 根号 x 这个极限，等价无穷小怎么替换

回答 1 令 u 等于根号 x，当 x 趋近 0，u 趋近 0，1 减 cosu 等价二分之一 u 平方，也就是等价二分之一 x，这是 cos 有根号求极限里面非常经典的等价替换。

问题 4 cos 有根号求极限，等价无穷小可以随便局部替换吗

回答 1 不可以，cos 有根号求极限等价无穷小只能在乘除因子里面替换，加减项不能随意局部替换，否则 cos 有根号求极限结果会出错。

【免责申明】

本内容属于高等数学极限题型学习演示，方法适用于实数域常规一元函数极限，多元函数或者复变极限场景不适用，考试答题请按照教材规范书写，本内容不替代课堂教学。